Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) đồ thị \(y = x^2\) và \(y = 2x\)
b) đồ thị \(y = \sin x\) và trục hoành trên đoạn \([0;\pi]\)
c) đồ thị \(y = e^{-x}\), trục hoành và hai đường \(x=0\), \(x=2\)
Tính các tích phân:
a) \(\displaystyle \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1)\,dx\)
b) \(\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{dx}{x}\)
c) \(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x\,dx\)
d) \(\displaystyle \int_{0}^{1} x\sqrt{1 - x^2}\,dx\)
Tìm hàm số \(f(x)\) biết \(f'(x) = x e^{-x}\) và \(f(0) = 2\).
Tính nguyên hàm:
a) \(\displaystyle \int \frac{dx}{x\ln x}\)
b) \(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx\)
c) \(\displaystyle \int \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}\,dx\)
d) \(\displaystyle \int \frac{dx}{(1 + x^2)^2}\)
Tính các nguyên hàm sau:
a) \(\displaystyle \int (3x^2 - 4x + 5)\,dx\)
b) \(\displaystyle \int \frac{2x - 3}{x^2 - 3x + 2}\,dx\)
c) \(\displaystyle \int x\sqrt{x+1}\,dx\)
d) \(\displaystyle \int e^{2x}\cos x\,dx\)
Cho hàm số:
\[y = x^{\log_{2}(x)}\]
a) Tìm đạo hàm \(y'\).
b) Tìm các điểm cực trị của hàm số trên \((0; +\infty)\).
Giải phương trình:
a) \[2^{x} + 3^{x} = 5 \cdot 2^{x/2}\]
b) \[\log_{3}(x+1) + \log_{3}(x-2) = 2.\]
Tính các giới hạn sau:
a) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{x}\)
b) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3^x}{x^5}\)
c) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x\)
Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2^{x} + 3^{y} = 17 \\
2^{x+1} - 3^{y} = 1
\end{cases}
\]
Tìm tập xác định:
a) \(y = \log(2x - 1)\)
b) \(y = \sqrt{\log_{3}(x^2 - 4)}\)
c) \(y = \log_{\frac{1}{2}} (5 - x)\)
