Toán 12 - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit
Cho hàm số:
\[y = x^{\log_{2}(x)}\]
a) Tìm đạo hàm \(y'\).
b) Tìm các điểm cực trị của hàm số trên \((0; +\infty)\).
Giải phương trình:
a) \[2^{x} + 3^{x} = 5 \cdot 2^{x/2}\]
b) \[\log_{3}(x+1) + \log_{3}(x-2) = 2.\]
Tính các giới hạn sau:
a) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{x}\)
b) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3^x}{x^5}\)
c) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x\)
Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2^{x} + 3^{y} = 17 \\
2^{x+1} - 3^{y} = 1
\end{cases}
\]
Tìm tập xác định:
a) \(y = \log(2x - 1)\)
b) \(y = \sqrt{\log_{3}(x^2 - 4)}\)
c) \(y = \log_{\frac{1}{2}} (5 - x)\)
Bài toán thực tế:
Một chất phóng xạ giảm theo công thức \(A(t) = A_0 \cdot 2^{-t/5}\).
a) Tính lượng chất còn lại sau 10 năm.
b) Tìm thời gian để lượng chất còn lại bằng \(\frac{A_0}{8}\).
Giải các phương trình sau:
a) \(2^{x+1} = 16\)
b) \(5^{2x-1} = 25\)
c) \(3^{x} + 3^{-x} = 10\)