Toán 12 - Nguyên hàm – Tích phân và Ứng dụng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
\[y = x\ln x,\qquad y = 0,\qquad x\in [1; e]\]
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([0;1]\) và thỏa mãn:
\[\int_0^1 f(x)\,dx = 3, \qquad \int_0^1 x f'(x)\,dx = 1.\]
Tính \(\displaystyle \int_0^1 (f(x) + x f'(x))\,dx\).
Tính:
\[I = \int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,dx\]
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi:
a) đồ thị \(y = \sqrt{x}\), trục hoành, từ \(x = 0\) đến \(x = 4\) quanh trục hoành.
b) đồ thị \(y = 1/x\), trục hoành, từ \(x = 1\) đến \(x = 3\) quanh trục hoành.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) đồ thị \(y = x^2\) và \(y = 2x\)
b) đồ thị \(y = \sin x\) và trục hoành trên đoạn \([0;\pi]\)
c) đồ thị \(y = e^{-x}\), trục hoành và hai đường \(x=0\), \(x=2\)
Tính các tích phân:
a) \(\displaystyle \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1)\,dx\)
b) \(\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{dx}{x}\)
c) \(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x\,dx\)
d) \(\displaystyle \int_{0}^{1} x\sqrt{1 - x^2}\,dx\)
Tìm hàm số \(f(x)\) biết \(f'(x) = x e^{-x}\) và \(f(0) = 2\).
Tính nguyên hàm:
a) \(\displaystyle \int \frac{dx}{x\ln x}\)
b) \(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx\)
c) \(\displaystyle \int \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}\,dx\)
d) \(\displaystyle \int \frac{dx}{(1 + x^2)^2}\)
Tính các nguyên hàm sau:
a) \(\displaystyle \int (3x^2 - 4x + 5)\,dx\)
b) \(\displaystyle \int \frac{2x - 3}{x^2 - 3x + 2}\,dx\)
c) \(\displaystyle \int x\sqrt{x+1}\,dx\)
d) \(\displaystyle \int e^{2x}\cos x\,dx\)