Tính các giới hạn sau:
\[\lim_{n \to +\infty} \frac{3n + 5}{2n - 1}\]
\[\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n^2 + 4n} - n \right)\]
Cho dãy số \((u_n)\) thỏa mãn:
\[u_1 = 1,\quad u_{n+1} = 2u_n + 3 \quad (n \ge 1)\]
a) Tính \(u_2, u_3\).
b) Đặt \(v_n = u_n + 3\). Chứng minh rằng \((v_n)\) là một cấp số nhân.
c) Tìm công thức số hạng tổng quát của \((u_n)\).
Cho một cấp số nhân có \(b_2 = 6\) và \(b_5 = 162\).
a) Tìm công bội \(q\).
b) Tìm số hạng đầu \(b_1\).
c) Viết công thức tổng quát của cấp số nhân đó.
Cho cấp số nhân \((b_n)\) có \(b_1 = 2\) và công bội \(q = 3\).
a) Viết công thức số hạng tổng quát \(b_n\).
b) Tính \(b_6\).
c) Tính tổng \(T_6 = b_1 + b_2 + \cdots + b_6\).
Cho một cấp số cộng có \(a_3 = 7\) và \(a_7 = 19\).
a) Tìm số hạng đầu \(a_1\) và công sai \(d\).
b) Viết công thức tổng quát của cấp số cộng đó.
Cho cấp số cộng \((a_n)\) có số hạng đầu \(a_1 = 5\) và công sai \(d = 3\).
a) Viết công thức số hạng tổng quát \(a_n\).
b) Tính số hạng \(a_{20}\).
c) Tính tổng \(S_{20} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{20}\).
Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi:
\[u_n = 2n^2 - 3n + 1 \quad (n \in \mathbb{N}^*)\]
a) Tính \(u_1, u_2, u_3\).
b) Chứng minh rằng dãy số \((u_n)\) không phải là cấp số cộng cũng không phải là cấp số nhân.
(Nâng cao)
Một đề thi gồm \(10\) câu trắc nghiệm, mỗi câu có \(4\) phương án trả lời và chỉ có một phương án đúng.
Một học sinh làm ngẫu nhiên tất cả các câu.
Tính xác suất để học sinh đó làm đúng:
a) Đúng đúng \(5\) câu.
b) Ít nhất \(1\) câu.
(Nhị thức Newton)
Khai triển biểu thức \((x + 2)^5\) và tìm hệ số của số hạng chứa \(x^3\).
Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối.
Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện:
a) Bằng \(8\).
b) Lớn hơn \(9\).
